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Réponses aux exercices


Ex 1


- Toutes combinaisons de chiffres peuvent être obtenues de manière unique à travers un tirage sans remise (car 223 par ex n'est pas admis) et pour lequel l'ordre compte (car 235 n'est pas 325). Il s'agit donc d'un arrangement de 3 éléments parmi les 6 chiffres. Il y en a 6!/(6-3)!=6*5*4=120.
- Pour sélectionner les chiffres inférieurs à 400, on effectue deux tirages successifs :
  • tirage du premier chiffre parmi {2,3} : il y a 2 possibilités.
  • tirage (sans remise) des deux chiffres suivants parmi les 5 chiffres restant : il y a 5*4=20 possibilités
Au total, on obtient 2*20=40 combinaisons possibles.
- Le même raisonnement qu'auparavant (où l'on tire d'abord le dernier chiffre parmi {2,6}) donne le même résultat : 40 combinaisons possibles.
- On peut utiliser le même raisonnement que précédemment, le dernier chiffre étant tiré parmi 4 choix possibles. On peut aussi dire que les nombres impairs sont des nombres qui ne sont pas pairs... Il y a donc 120-40=80 combinaisons possibles.
- Le dernier chiffre devant être 5 le nombre de combinaisons est le nombre d'arrangements de 2 éléments parmi les 5 chiffres restants : 5*4=20.


Ex 2


- il s'agit de permutations de 5 éléments : 5!=120.
- il y a d'abord une permutation entre les trois garçons, soit 3!, puis une permuation entre les deux filles, soit 2! et enfin il y a deux façons de placer les enfants, soit les garçons d'abord puis les filles, soit les filles puis les garçons, ce qui donne finalement: 3!*2!*2=24.
- Considérons le duo de filles comme un seul élément (on les permutera plus tard), on peut alors permuter les 3 garçons et le duo de filles, ce qui donne 4!, il ne reste plus qu'à permuter les deux filles, on obtient le reslutat suivant: 4!*2!=48

Ex 3



- il s'agit des permutations des 4 éléments "l", "e", "u" et "r". Il y en a 4!=4*3*2*1=24.
On peut les lister : leur, leru, luer, lure, lreu, lrue pour les 6 anagrammes commençant par l, il reste les 6 anagrammes commençant par e, par u et par r.
- si les trois "a" étaient distincts, alors la réponse serait 8! (le nombre des permutations des 8 lettres). Mais puisque les "a" sont indistinguables, chaque anagramme, par exemple "aaanphse", est ici compté plusieurs fois : spécifiquement 6 fois puisqu'il y a 3!=6 possibilités d'ordonner les trois lettres "a" (a1..a2..a3, a1..a3..a2, a2..a1..a3, a2..a3..a1, a3..a1..a2, a3..a2..a1). Il y a donc 8!/3!=40320 anagrammes distincts.
- le même raisonnement avec les 3 "o" et les 2 "i" donne le résultat (12!)/((3!)*(2!))=39 916 800.

Ex 4

Pour cet exercice il faut d'abord choisir 3 hommes parmis 7 puis 2 femmes parmis 5, on fait donc deux combinaisons que l'on multiplira entre elles: 7!/(3!*(7-3)!)=35 pour les hommes et 5!/(2!(5-2)!)=10 pour les femmes, on a donc finalement: 35*10=350

Ex 5


Ex 6

- Pour le premier cas on obtient: 26^2*10^3*26^2= 456 697 000
- Si tous les caractères doivent être distincts, il y a 26 possibilités pour la 1ère lettre, 25 possibilités pour la 2ème lettre, 10 possibilités pour le 1er chiffre, 9 possibilités pour le 2ème chiffre, 8 possibilités pour le 3ème chiffre, 24 possibilités pour la 3ème lettre et 23 possibilités pour la 4ème lettre. Il y a donc 26*25*10*9*8*24*23 = 258336000 plaques différentes.

Ex 7

On a 13 livres et on veut déterminer le nombre de façons de ranger ces 13 livres. Le nombre de façons de ranger ces 13 livres est égal au nombre de permutations dans un ensemble à 13 élements, soit 13!=6227020800.

Ensuite on veut les ranger en regroupant les livres de mathématiques(4). Il y a 4 livres de maths. Le nombre de façons de les ranger côte à côte est égal au nombre de permutations dans un ensemble à 4 élements, soit: 4!=24. Il y a 10 positions possibles pour ces 4 livres. Il y a 9! façon de ranger les autres livres.

Enfin, on veut les ranger en les regroupant par matière. Le nombre de façons de les ranger en regroupant les livres de maths est 24,en regroupant les livres de physique: 6!=720 et pour les livres de chimie: 3!=6. De plus il y a 3! positions possibles de les ranger, cela donne: 3!*720*24*6=622080.

Ex 8


Ex 9


Ex 10


Ex 11


Ex 12


Ex 13


Ex 14


Ex 15

Il y a 13^6 tirages possibles.
-au plus une boule noire: nombres de tirages avec 6 blanches et nombres de tirages avec 5 blanches et 1 noires c-a-d: 5^6+(5^5*8)*6 tirages (pour les 5 blanches et la noire, il y a 6 façons de les ranger)
-trois boules blanches exactement: ??
-une boule blanche au moins: c'est le nombre total de tirages possibles moins le nombre de tirage sans boule blanche (c-a-d avec six boules noires) c-a-d: 13^6-8^6 tirages
-5 boules noires et une blanche dans cet ordre: 8^5*5 tirages
-5 boules noires et une blanche dans n'importe quel ordre: (8^5*5)*6 tirages (il y a 6 façons de les ranger)

Ex 16